a∥b的充要條件可以是a=λb (b≠0)，也可以是a=λb。

主要考慮到規定b≠0，可建立實數λ和向量a之間的一一對應，即存在且僅存在唯一的實數λ，使a=λb。否則，實數λ和向量a并不一一對應，即b=0且a=0而λ取任意實數，都有a=λb 。建立實數λ和向量a之間的一一對應，也就是將一個非零向量（也就是b）與其他任一向量（也就是a）之間的平行關系等價于唯一實數λ的存在性。

知識點:向量組A,B等價的充要條件是 r(A)=r(A,B)=r(B).因為 A組可由B組線性表示,所以 r(B,A) = r(B)因為 r(A)=r(B),所以 r(A)=r(A,B)=r(B)所以兩個向量組等價

只需證明：①兩個向量組的秩相等。（可以用初等變換計算“矩陣”的秩而得）②有一個向量組，它的每一個向量都可以用另一個向量組的向量線性表示。

向量組等價，則秩相等反之則不成立，例如A的行向量都是(1,0,0)，B的行向量都是(0,1,0)A,B秩都是1，但不等價

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…Bn的等價秩相等條件是 R（A）=R（B）=R（A，B）， 其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣。

（注意區分粗體字與普通字母所表示的不同意義） 或者說：兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。注： 1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。2、任一向量組和它的極大無關組等價。3、向量組的任意兩個極大無關組等價。4、兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。5、等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。6、如果向量組A可由向量組B線性表出，且R（A）=R（B），則A與B等價。

區別： 矩陣等價的前提是同型，同型時, 等價的充要條件是秩相同。它是在同型的條件下考慮的 向量組等價的充要條件是 R(A)=R(A,B)=R(B)。

1.等價向量組： 等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣，線性相關性也可以不一樣。 等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。 如果向量組A可由向量組B線性表示，且R（A）=R（B），則A與B等價。

2.等價矩陣： 矩陣等價，是存在可逆變換（行變換或列變換，對應于1個可逆矩陣），使得一個矩陣之間可以相互轉化。 如果是行變換，相當于兩矩陣的列向量組是等價的。 如果是列變換，相當于兩矩陣的行向量組是等價的。

首先，（A,B）表示矩陣A寫在左邊矩陣B寫在右邊，（B,A）表示矩陣B寫在左邊矩陣A寫在右邊。

其次，雖然行中數值順序有變化，但是這個矩陣的每一列的數值從上至下順序未變。最后，用初等列變換求矩陣的秩，可以改變每一列的順序，矩陣的秩不變。綜上可知，R(A,B)=R(B,A)

矩陣等價充要條件：在線性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關系。也就是說，存在可逆矩陣，A經過有限次的初等變換得到B。 向量組等價充要條件：兩個向量組可以互相線性表示。向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是R（A）=R（B）=R（A，B）。