A可逆的充要條件:

1、|A|不等于0。

2、r（A）=n。

3、A的列（行）向量組線性無關。

4、A的特征值中沒有0。

5、A可以分解為若干初等矩陣的乘積。 矩陣A為n階方陣，若存在n階矩陣B，使得矩陣A、B的乘積為單位陣，則稱A為可逆陣，B為A的逆矩陣。若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，且其逆矩陣唯一。

成立。

1、先證可逆矩陣一定可以寫成矩陣的乘積,因為A=A*E,所以一定可以寫成矩陣乘積的形式。

2、再證,如果A=BC,那么B,C都可逆.因為|A|=|BC|=|B||C|,A可逆。

3、所以|A|≠0,所以|B|,|C|均不為0,所以都可逆.。依據：1、可逆矩陣一定是方陣。2、如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。擴展資料：可逆矩陣定義：一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得則稱B是A的一個逆矩陣，A的逆矩陣記作A-1。如何證明逆矩陣的唯一性：證明：若B,C都是A的逆矩陣，所以B=C，即A的逆矩陣是唯一的。矩陣可逆充要條件：1、矩陣可逆的充分必要條件。2、AB=E。3、A為滿秩矩陣（即r(A)=n）。

4、A的特征值全不為0。

5、A的行列式|A|≠0，也可表述為A不是奇異矩陣（即行列式為0的矩陣）。

充分性：因為P、Q可逆，所以 P,Q可以分解成若干個基本初等矩陣的積，所以A~B

必要性：因為A~B,所以A經過若干次初等行列變換后成為B，即PAQ=B，（P、Q可逆）

方陣A可逆的充分必要條件有以下：①|A|≠0。并且當A可逆時，有A^-1=A*/|A|。（A*是A的伴隨矩陣，A^-1是A的逆矩陣）②對于n階矩陣A，存在n階矩陣B，使AB=E（或BA=E），并且當A可逆時，B=A^-1。③A可以經過有限次初等變化為單位矩陣。④A可以表示為有限個初等矩陣的乘積。⑤A可以只經過初等行變換化為單位矩陣E。